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Análisis Matemático 66
2025
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
5.
Para las siguientes funciones, pruebe que el gráfico corta al eje $x$ sólo una vez.
b) $f(x)=e^{-x}-\ln(x), x>1$
b) $f(x)=e^{-x}-\ln(x), x>1$
Respuesta
Vamos a resolver este problema con un razonamiento similar al que usamos en el item anterior.
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Primero entendamos cómo se comporta la función en los extremos de su dominio:
$\lim_{x \to +\infty} e^{-x}-\ln(x) = -\infty$
$\lim_{x \to 1^+} e^{-x}-\ln(x) = e^{-1} - 0 = \frac{1}{e}$
Ahora calculemos la derivada de $f$:
$f'(x) = -e^{-x} - \frac{1}{x}$
Notemos que $-e^{-x}$ es siempre negativo y que $-\frac{1}{x}$ también es negativo para todo $x > 1$. Por lo tanto, $f'(x)$ es siempre negativa $\Rightarrow$ Eso nos dice que $f(x)$ es siempre decreciente.
Como $f$ es monótona decreciente y la función tiene un valor positivo cuando $x$ se acerca a $1^+$ y un valor negativo cuando $x \to +\infty$, podemos asegurar que la gráfica de la función corta al eje $x$ una única vez.
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